À la Cantor

Hello Jean-Marc,

Je suis en train d’écrire un article sur les ellipses pour Tangente où il est question de deux paramètres x et y distincts.

J’ai piqué à Cantor son idée de ramener x et y à un seul nombre z – lequel z permettra de retrouver x et y de manière non ambiguë.

L’idée consiste à semer des points rouges dans le premier quadrant d’un plan orthonormé (muni des axes habituels) selon la technique ci-dessous :

Je mets le 1^er point rouge aux coordonnées (1,2)

Le 2^e et le 3^e point aux coordonnées (1,3) et (2,3)

Le 4^e, le 5^e et le 6^e aux coordonnées (1,4), (2,4) et (3,4)

Le 7^e, le 8^e, le 9^e et le 10^e aux coordonnées (1,5), (2,5), (3,5) et (4,5)

Etc. Tu as compris – je démarre toujours une nouvelle rangée par la gauche.

(Cette méthode me permet de ne jamais avoir deux nombres identiques dans la même parenthèse – car ces nombres seront les paramètres d’une ellipse : je les veux distincts et plus grands que 0.)

Je numérote ensuite ces points comme ci-dessous – en commençant par le bas.

Voici le « triangle » que j’obtiens pour les 105 premiers nombres/numéros :

À l’aide de ce triangle il est simple de transformer tout nombre naturel en une paire de termes distincts.

Ainsi aux nombres 91, 98 et 100 ci-dessus correspondent respectivement les coordonnées (x,y) suivantes : 91 -->(13,14), 98 -->(7,15) et 100 -->(9,15).

Tu as noté évidemment que les nombres triangulaires successifs (A000217) terminent de bas en haut chaque ligne de points rouges.

Ma question est la suivante :

— Y a-t-il une formule qui donne rapidement (x,y) quand on connaît z ?

À quelle paire (x,y) correspond z = 2024 par exemple ? 

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Voici mon calcul au doigt mouillé :

1) 2024 est coincé entre les nombres triangulaires 2016 et 2080

2) 2016 étant selon cette table le 63^e nombre triangulaire, il a ici pour coordonnées (x,y) = (x, x+1) = (63, 64) 

3) 2017 commence (par la gauche) la rangée y de points rouges placée au-dessus de la rangée y de 2016 : la rangée y de 2017 est donc la 65^e.

4) Donc 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023 et 2024 ont pour coordonnées (x,y) successives :

2017 -->(1,65), 

2018 -->(2,65), 

2019 -->(3,65), 

2020 -->(4,65), 

2021 -->(5,65), 

2022 -->(6,65), 

2023 -->(7,65),

2024 -->(8,65). 

5) On remarque que le 8 jaune ci-dessus est la différence (2024 - 2016).

6) On note aussi que le 65 jaune ci-dessus est le numéro de la rangée y qui contient les points rouges/nombres qui vont de 2016 à 2080 (dont fait partie 2024).

7) Le 65 jaune ci-dessus est donc ici [(index de 2016) + 2] = [63 + 2] = 65.

8) Tout ceci ne nous donne malheureusement pas une formule simple...

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Update du lendemain

Jean-Marc trouva rapidement la solution :

1) il appelle T le nombre de départ (2024 comme premier exemple)

2) il calcule la coordonnée entière y grâce à la formule :

    « y est strictement inférieur à 1/2*[3+sqr(1+8*T)] », donc ici, avec T = 2024 :

    « y est strictement inférieur à 1/2*[3+sqr(1+8*2024)] » --> y = 65

3) la coordonnée x est donnée par la formule :

    « x = T - y²/2 + 3*y/2 - 1 », donc ici, avec T = 2024 et y = 65 :

    « x = 2024 - 65²/2 + 3*65/2 - 1 » --> x = 8

Merci Jean-Marc !