Prime welds


We would like to extend the recent idea expressed below (and here):

NAME
Lexicographically earliest sequence of distinct terms > 0 such that the concatenation of the rightmost digit of a(n) and the leftmost digit of a(n+1) forms a prime number. The rightmost digit of a(n) cannot be 0.
DATA
1, 3, 7, 9, 71, 11, 12, 31, 13, 14, 15, 32, 33, 16, 17, 18, 34, 19, 72, 35, 36, 73, 74, 37, 38, 39, 75, 91, 76, 77, 92, 93, 78, 94, 79, 701, 95, 96, 101, 97, 98, 99, 702, 301, 102, 302, 303, 103, 104, 105, 304, 106, 107, 108, ...
EXAMPLE
a(1) = 1 and a(2) = 3 form 13, a prime number;
a(2) = 3 and a(3) = 7 form 37, a prime number;
a(3) = 7 and a(4) = 9 form 79, a prime number;
a(4) = 9 and the leftmost digit of a(5) = 71 form 97, a prime number;
a(5) = 71 and its rightmost digit, concatenated to the leftmost digit of a(6) = 11, form 11, a prime number; etc.
_____________

What we will call now a "prime weld" is a link K between two integers X and Y (say X = 2023 and Y = 1951) formed by the concatenation of the R rightmost digits of X and the L leftmost digits of Y, with R > 0 and L > 0. K must be a prime number.

In yellow are the only sound prime welds binding 2023 and 1951:
2023, 1951 – prime weld 31
2023, 1951 – no prime weld: 319 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 3195 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 31951 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 231 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 2319 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 23195 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 231951 is composite
2023, 1951 – prime weld 20231
2023, 1951 – no prime weld: 202319 is composite
2023, 1951 – no prime weld: 2023195 is composite
2023, 1951 – prime weld 20231951
(We see that the rightmost digit of 2023 and the leftmost digit of 1951 are always part of a weld).

Two new seqs (that are an absolute nightmare to compute by hand – forgive my errors):
"Lexicographically earliest sequence of distinct terms > 0 such that a(n) and a(n+1) are linked by at least one prime weld." 
(The sequence was checked and re-computed by Giorgos Kalogeropoulos – many thanks to him!-)

A = 1, 3, 7, 9, 11, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 27, 30, 23, 31, 21, 32, 33, 37, 34, 35, 36, 41, 38, 39, 43, 47, 51, 49, 53, 59, 67, 57, 61, 63, 70, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 87, 78, 79, 83, 89, 91, 81, 90, 107, 92, 93, 97, 94, 99, 100, 95, 96, 101, 98, 110, 102, 103, 104, 105, 106, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 115...

The successive prime welds are visible below.
David Gawen Champernowne (1912-2000)
"Champernowne constant cut in minimal chunks linked by a prime weld."
B = 1, 2345678910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20212223242526272829303132334353, ...
The successive prime welds are visible below:

The primality of the above welds was tested using this engine:



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