Fibostracci

(Stracci is a kind of lasagna – see here: "Al plur., stracci, tipo di pasta fatta in casa, tagliata in forma di lasagne di cui è anche simile l’impasto, rammorbidito però con un po’ di latte o di olio; è in uso spec. in Liguria e nel Piemonte".)

We start S with a(1) = 0 and a(2) = 1.
As 0 and 1 share no digit we add them and extend S with the sum:
S = 0, 1, 1, …
As the last two integers share at least one digit, we don’t add them and extend S instead with the smallest integer not yet in S:
S = 0, 1, 1, 2, …
As 1 and 2 share no digit, we add them and extend S with the sum: 
S = 0, 1, 1, 2, 3, …
As 2 and 3 share no digit, we add them and extend S with the sum: 
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, …
Then:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
As the last two integers share at least one digit, we don’t add them and extend S instead with the smallest integer not yet in S:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, …
Then:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, …
As 25 and 29 share the digit 2, we get:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, …
Then:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, 35, 41, 76, 117, …
As 76 and 117 share the digit 7, we get:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, 35, 41, 76, 117, 7, …
As 117 and 7 share the digit 7, we get:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, 35, 41, 76, 117, 7, 9, ...
Then:
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, 35, 41, 76, 117, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, ...
Etc.
I guess we quickly have (if I'm not wrong):
S = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4, 25, 29, 6, 35, 41, 76, 117, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 39, 59, 22, 81, 103, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 58, 88, 31, 119, 150, ...
Question:
Will the proportion red integers/blue integers increase for ever – or stabilize at some point?
[the blue integers are the sums a(n-1) + a(n), the red integers are not (except the first 2)].
Best,
É.












Commentaires

  1. MFH8 décembre 2022 à 12:44

    Yes. On one hand, almost all numbers have all digits 0-9 (only 0% of all numbers don't have all digits! Remember that all but a finite number of numbers have only < 10^10^k digits, for any k...) But even much earlier, the red numbers outnumber the blue ones: up to n = 1000, we have less than 60 blue numbers (there are only 5 between n=300 and n=500 and 7 more up to n=1000), up to n = 10^4, there are only about 15 more blue numbers.

    RépondreSupprimer
  2. icarusvinci27 décembre 2022 à 14:06

    I added some information at OEIS A357048. Went to A359128(1..10^9+50) and extended sequence to 140 terms. Have a dataset (n, A359128(n)) for those terms that follow the nonintersecting digit-set axiom (and are thus sums). You all probably already know this, though. (M. De Vlieger).

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