Chiffres externes et internes

 

Chiffres externes & chiffres internes

Un chiffre externe est un chiffre qui commence ou termine un nombre.

Un chiffre interne ne commence ni ne termine aucun nombre.

Les nombres qui vont de 0 à 99 ne comportent que des chiffres externes.

Le premier chiffre interne apparaît avec 100 : c’est le zéro central.

2021 comporte deux chiffres externes (le 2 et le 1) et deux chiffre internes (le 0 et le 2).

Aucun nombre, par définition, ne peut comporter plus de 2 chiffres externes.

Mais un nombre peut comporter autant de chiffres internes que l’on veut.

Peut-on dire que Pi (qui vaut 3,1415926…) comporte 1 chiffre externe et une infinité d’internes ?

De même pour « racine de 2 », « racine de 3 », « phi », « e » ou « 10*Pi » ?

Nous ne traiterons ici que de nombres entiers.

Combien y en a-t-il qui comportent autant de chiffres externes que de chiffres internes ?

Ce sont les nombres qui vont de 1000 à 9999 — il n’y en a que 8999, ils comportent 2 chiffres de chaque espèce.

Quels seraient les nombres dont la somme des externes vaut la somme des internes ?

Le premier est 0, le suivant est 110.

La suite S des entiers dont la somme des internes vaut celle des externes commence ainsi :

S = 0, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 220, 231, 242, …

Elle est ici depuis janvier 2005.

La suite T des entiers dont le produit des internes vaut celui des externes commence ainsi :

T = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 111, 122, 133, 144, 155, 166, 177, 188, 199, 200, 221, 242, 263, 284, 300, 331, 362, 393, 400, 441, 482, 500, 551, 600, 661, 700, 771, 800, 881, 900, 991, 1000, 1010, 1111, 1122, 1212, 1133, 1313, 1144, 1224, 1414, 1155, 1515, 1166, 1236, 1326, 1616, …

Intéressons-nous à la suite U. Ici la succession des chiffres externes des termes de U est la même que la succession de leurs chiffres internes. En toute orthodoxie, si nous voulons que U soit la lexico-première suite de termes distincts, il faut la commencer par les nombres allant de 0 à 99 (on les retrouve en couleur plus loin) :

U = 0, 1, 2, 3, … 98, 99, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 111, 101, 112, 113, 114, 121, 115, 131, 116, 141, 117, 151, 118, 161, 119, 171, 210, 181, 211, 191, 122, 102, …

Les termes (tous différents) de la lexico-suite V sont tels que « L’extérieur de a(n) est à l’intérieur de a(n) » :

V = 1010, 1100, 1111, 1122, 1133, 1144, 1155, 1166, 1177, 1188, 1199, 1212, 1313, 1414, 1515, 1616, 1717, 1818, 1919, 2020, 2121, 2200, 2211, 2222, 2233, 2244, 2255, 2266, 2277, 2288, 2299, 2323, 2424, 2525, 2626, 2727, 2828, 2929, ...

Ici les termes (tous différents) de la lexico-suite W sont tels que « L’extérieur de a(n) est à l’intérieur de a(n)+1 » :

W = 0, 100, 1010, 1011, 1110, 1012, 1120, 1013, 1130, 1014, 1140, 1015, 1150, 1016, 1160,1017, 1170, 1018, 1180, 1019, 1190, 1100, 1101, 1111, 1112, ...

D’autres suites sur le même thème sont possibles. Nous y travaillons.