Prime sums from neighbouring terms


Hello SeqFans,
I'm working on this idea with my friend Jean-Marc Falcoz. Look at the following sequence S:

 S = 1,2,7,3,6,4,5,8,10,11,9,12,14,15,13,18,17,19,20,21,24,16,...

 Pick any triplet of successive terms: there is only one way to build a prime by adding two out of the three integers of the triplet. (S is the lexicographically erliest sequence of distinct terms with this property).

 Indeed the triplet 1,2,7 permits only to build the prime 3=1+2 as 1+7=8 (composite) and 2+7=9 (composite).
The triplet 2,7,3 permits only the prime 5=2+3 as 2+7=9 (composite) and 7+3=10 (composite).
The triplet 7,3,6 permits only the prime 13=7+6 as 7+3=10 (composite) and 3+6=9 (composite).
Etc.

 The same task could be performed if we change the "triplet" condition to "quadruplet":

 T = 1,2,7,8,4,14,...

 Indeed the quadruplet 1,2,7,8 permits only the prime 3=1+2 as 1+7=8 (composite), 1+8=9 (composite), 2+7=9 (composite), 2+8=10 (composite) and 7+8=15 (composite too).

 The quadruplet 2,7,8,4 permits only the prime 11=7+4 as 2+7=9 (composite), 2+8=10 (composite), 2+4=6 (composite), 7+8=15 (composite) and 8+4=12 (composite too).

 The quadruplet 7,8,4,14 permits only the prime 11=7+4 as the other two-term sums in the quadruplet produce composite numbers. 
(Note that no term < 14 can complete the above quadruplet as 3 would permit another prime-sum 7=3+4 ~~ 5 would produce 13=5+8 ~~6 would allow 13=6+7 ~~ 9 would allow 13=9+4 ~~ 10 would lead to 17=10+7 ~~ 11 would produce 19=11+8  ~~ 12 would lead to 19=12+7 and 13 would produce 17=13+4).
The same task could be performed if we change the "quadruplet" condition to "quintuplet":
U = 1,2,7,8,14,4,...

 We will explore 8 such sequences, from the "triplet" to the "decuplet" constraint, from the S sequence to T, U, V, W, X, Y and Z.

 Another approach would be this one: the triplet, instead of one prime, produces no prime at all (I suspect this seq is already in the OEIS).
With the variant (to be explored too): the triplet produces exactly two primes and a single composite (by adding 2 out of 3 terms of the triplet).

The same with the quadruplet: two primes and two composites ~~ three primes and a single composite.

 The same with the quintuplet: two primes and three composites  ~~ three primes and two composites  ~~ four primes and one single composite.
Etc. – until the full decuplets variants.
A lot of work – worth the OEIS?
Best,
É.






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