La suite Toblerone


La suite Toblerone n’est composée que de 0 et de 1 :

T = 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ...

Plus de mille termes ont été calculés par Lars Blomberg – elle semble n'entrer dans aucune boucle et faire surgir ses 0 et 1 au hasard.
Dit autrement, il ne paraît pas possible, connaissant les 1000 premiers termes de la suite, de prévoir si le milliardième (par exemple) sera un 0 ou un 1.

Cette suite a été construite de manière à comporter trois copies d’elle-même, visibles grâce à une règle très simple.

Règle très simple :

Voir la suite T comme une file indienne de personnes portant chacune un dossard 0 ou 1 ;
Passer en revue cet alignement en commençant par le premier dossard :
– si ce dossard est un 0, donner une barre de Toblerone à la personne juste derrière ce 0 ;
– si ce dossard est un 1, ne donner rien à la personne juste derrière mais donner une barre à celle venant après.
Parcourir ainsi la file jusqu'à l'infini.
Exemple :
La file indienne T commence par 1, puis 0, puis 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, ... (« r » est ci-dessous le rang du dossard dans la file) :

rang : r = 1er  2e   3e   4e   5e    6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0    1    1    1    0    0    1    1  ...

On regarde le 1er dossard – c’est un 1 – on donne donc un Toblerone au 3e dossard (on saute le 2e, on met un petit t) :

rang : r = 1er  2e   3e   4e   5e    6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0    1t   1    1    0    0    1    1  ...

On regarde le 2e dossard – c’est un 0 – on donne donc un Toblerone au 3e dossard (il en a deux, on met 2 petits t) :

rang : r = 1er  2e   3e    4e   5e    6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0    1tt   1    1    0    0    1    1  ...

On regarde le 3e dossard – c’est un 1 – on donne donc un Toblerone au 5e dossard (on saute le 4e, on met un petit t) :

rang : r = 1er  2e   3e   4e   5e   6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0   1tt   1    1t   0    0    1    1  ...

On regarde le 4e dossard – c’est un 1 – on donne donc un Toblerone au 6e dossard (on saute le 5e, on met un petit t) :

rang : r = 1er  2e   3e    4e   5e   6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0    1tt   1    1t   1t   0    1    1  ...

On regarde le 5e dossard – c’est un 1 – on donne donc un Toblerone au 7e dossard (on saute le 6e, on met un petit t) :

rang : r = 1er  2e   3e   4e   5e   6e   7e   8e   9e ...
 Suite T = 1    0    1tt  1    1t   1t   1t   1    1  ...

Etc. Voici ce que reçoivent les 71 premiers dossards de la suite :

T = 1, 0, 1tt, 1, 1t, 0t, 0tt, 1t, 1, 1t, 1t, 0t, 1tt, 1, 0t, 1tt, 0, 1tt, 0, 0tt, 1t, 1, 1t, 1t, 1t, 0t, 0tt, 1t, 1, 1t, 0t, 1tt, 1, 1t, 0t, 1tt, 1, 1t, 0t, 1tt, 0, 1tt, 1, 0t, 0tt, 1t, 1, 1t, 1t, 1t, 1t, 0t, 1tt, 0, 1tt, 1, 0t, 0tt, 1t, 0, 1tt, 1, 1t, 1t, 0t, 0tt, 1t, 0, 1tt, 0, 0tt, ...

70 barres de chocolat ont déjà été distribuées – mais de manière inégale : certains ont reçu 2 barres, d’autres 1, d’autres rien.

On demande alors à ces derniers de ne pas bouger de la file, à ceux qui ont reçu 2 barres de faire un pas vers le haut (pour nous), à ceux qui ont reçu 1 barre de faire un pas vers le bas.

La file T d’origine a produit 3 nouveaux alignements appelés D (pour deux barres), Z (pour zéro) et U (pour une seule barre de Toblerone). En oubliant les « trous » entre dossards on obtient :

D = 1tt, 0tt, 1tt, 1tt, 1tt, 0tt, 0tt, 1tt, 1tt, 1tt, 1tt, 0tt, 1tt, 1tt, 0tt, 1tt, 0tt, 1tt, 0tt,...

Z = 1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,...

U = 1t, 0t, 1t, 1t, 1t, 0t, 0t, 1t, 1t, 1t, 1t, 0t, 1t, 1t, 0t, 1t, 0t, 1t, 0t, 0t, 1t, 1t, 1t, 1t, 1t, 0t, 0t, 1t, 1t, 1t, 0t, 1t,...

Surprise, ces trois suites de dossards sont les mêmes que la suite T d’origine :

T = 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0,...

On a donc bien une suite fractale irrégulière contenant trois copies d’elle-même – lesquelles peuvent apparaître grâce à une liste d'instructions ridiculement simple. Elle est entrée fin mars 2019 dans l’OEIS.

Bon ap'.
à+
É.



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