Une suite pour Kiev
A est à B comme C est à
D
« Pour
reprendre Aristote (1457b),
à partir de l’analogie A est à B comme C est à D, il y aura métaphore si pour
désigner A on le dit le C de B ou encore quand on affirme que A est
un C. Si la vieillesse est à la vie ce que le soir est au jour, on qualifiera
métaphoriquement la vieillesse de soir de la vie ou l’on dira encore : la
vieillesse est un soir. »
[Traité
de l’argumentation, Chaïm Perelman et Lucie Olbrechts-Tyteca,
1988, Éditions de l’Université de Bruxelles.]
Dans la
suite U que nous allons détailler, le chiffre de rang r est au chiffre
suivant ce que le terme de rang r est au terme suivant.
Démarrons
avec a = 12, pour comprendre, et appelons b le deuxième terme de U :
U = 12, b, ...
Selon la
loi qui gouverne U, « le rapport du 1er chiffre sur le suivant
doit être le même que le rapport du 1er terme sur le suivant ».
Il faut
donc que 1/2 (rapport du 1er chiffre de U sur le 2e
chiffre de U) soit égal à 12/b (rapport du 1er terme
de U sur le 2e terme de U) ; l’équation
élémentaire qui en résulte est 1/2 = 12/b, laquelle donne la valeur 24 à
b. Calculons c :
U = 12, 24,
c, ...
Après r
= 1 qui a mis le curseur sur le 1er chiffre de U ci-dessus,
on passe à r = 2 qui va pousser le curseur sur le 2 de 12. La loi
devient :
« Le
rapport du 2e chiffre de U sur le suivant doit être le même
que le rapport du 2e terme de U sur le suivant ».
[Les
chiffres impliqués dans l’équation seront désormais en jaune et bleu dans U
(couleurs de l’Ukraine, U étant l’initiale de ce valeureux pays) ; quant
aux termes de U impliqués dans l’équation, ils seront soulignés.]
Reprenons
en couleur et soulignements :
U = 12, 24, c, ...
On a donc
2/2 = 24/c qui donne c = 24 ; calculons d :
U = 12, 24, 24, d, ...
r = 3 met en jaune
le 3e chiffre de S et conduit à l’équation 2/4 = 24/d,
ce qui donne d = 48 ; calculons e :
U = 12, 24, 24, 48, e, ...
Avec r
= 4, nous jaunissons le 4e chiffre de S et obtenons 4/2 = 48/e.
La suite U descend pour la première fois car e = 24 ; calculons
f :
U = 12, 24,
24, 48, 24, f, ...
Vous avez
compris : on fait avancer la marque jaune d’un cran vers la droite à
chaque tour, suivie de la marque bleue, puis on souligne les deux derniers
termes de S, dont celui inconnu) ; on a donc, si l’on reprend le début de
la procédure :
U = 12, b, ... (b vaut 24)
U = 12, 24, c, ... (c vaut 24)
U = 12, 24, 24, d, ...
(d vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, e, ...
(e vaut 24)
U = 12, 24, 24,
48, 24, f, ... (f vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48,
24, 48, g, ... (g vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48,
24, 48, 48, h, ... (h vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24,
48, 48, 96, i, ... (i vaut 24)
U = 12, 24, 24, 48, 24,
48, 48, 96, 24, j, ... (j vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48,
48, 96, 24, 48, k, ... (k vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48,
48, 96, 24, 48, 48, l, ... (l vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48,
96, 24, 48, 48, 96, m, ... (m vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48,
96, 24, 48, 48, 96, 48, n, ... (n vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, 48, 96, o, ... (o
vaut 108)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, 48, 96, 108, p, ... (p vaut 72)
... aïe ! Nous notons la présence d’un zéro à l’intérieur
de 108 ; que ferons-nous quand il s’agira de calculer le rapport 1/0 (dû
au chiffre 1 de 108 et au zéro qui le suit) ? Nous serons bloqués – et U
s’arrêtera là.
À moins que l’on remplace 108 par le plus petit nombre absent
de U ?
C’est une technique de relance classique pour certaines
suites de l’OEIS ; nous verrons ce que cela peut donner dans les jours qui
viennent !
(à suivre)
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RépondreSupprimerOne possibility is to simply ignore the digits 0. Do as if they were not there at all when you consider the digits of the sequence. (It makes it easy to find digit n: it is the first digit of term U((n+1)/2) if n is odd, and it is the last digit of the term U(n/2) if n is even.) If you do this, 108 is the only term with a digit 0, and after the term 108 and a subsequent 72 appeared 11 times, the sequence goes on with the second term, U(2) = 24, entering an infinite loop (containing 11 times ...,108, 72, ...). A second (more interesting?) variant it to cut numbers with a digit 0 in the only possible way in two parts: e.g., U(15) = 108 becomes digit(29)=10 and digit(30)=8, while a subsequent U(k)=240 becomes digit(2k-1)=2, digit(2k)=40. It seems that no 2-digit term ever has a digit 0, and the only other terms are 3-digit terms with precisely 1 digit 0: 108, 120, 240, 480, 960. (I feared one might see 2x960 or larger but so far I never saw this -- but I also did not yet find a loop although I guess it should become periodic from some point on.)
RépondreSupprimer[In the 2nd variant the digit 0 is used (always "glued" to the nonzero digit that precedes it), but it also doesn't count for the "digit number"/position, as shown by my formulas for digit(2k-1) and digit(2k) which are always part of U(k).]
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