Une suite pour Kiev



 



A est à B comme C est à D
 
« Pour reprendre Aristote (1457b), à partir de l’analogie A est à B comme C est à D, il y aura métaphore si pour désigner A on le dit le C de B ou encore quand on affirme que A est un C. Si la vieillesse est à la vie ce que le soir est au jour, on qualifiera métaphoriquement la vieillesse de soir de la vie ou l’on dira encore : la vieillesse est un soir. »
[Traité de l’argumentation, Chaïm Perelman et Lucie Olbrechts-Tyteca, 1988, Éditions de l’Université de Bruxelles.]
 
Dans la suite U que nous allons détailler, le chiffre de rang r est au chiffre suivant ce que le terme de rang r est au terme suivant.
 
Démarrons avec a = 12, pour comprendre, et appelons b le deuxième terme de U :
 
U = 12, b, ...
 
Selon la loi qui gouverne U, « le rapport du 1er chiffre sur le suivant doit être le même que le rapport du 1er terme sur le suivant ».
 
Il faut donc que 1/2 (rapport du 1er chiffre de U sur le 2e chiffre de U) soit égal à 12/b (rapport du 1er terme de U sur le 2e terme de U) ; l’équation élémentaire qui en résulte est 1/2 = 12/b, laquelle donne la valeur 24 à b. Calculons c :
 
U = 12, 24, c, ...
 
Après r = 1 qui a mis le curseur sur le 1er chiffre de U ci-dessus, on passe à r = 2 qui va pousser le curseur sur le 2 de 12. La loi devient :
« Le rapport du 2e chiffre de U sur le suivant doit être le même que le rapport du 2e terme de U sur le suivant ».
[Les chiffres impliqués dans l’équation seront désormais en jaune et bleu dans U (couleurs de l’Ukraine, U étant l’initiale de ce valeureux pays) ; quant aux termes de U impliqués dans l’équation, ils seront soulignés.]
Reprenons en couleur et soulignements :
 
U = 12, 24, c, ...
On a donc 2/2 = 24/c qui donne c = 24 ; calculons d :
 
U = 12, 24, 24, d, ...
r = 3 met en jaune le 3e chiffre de S et conduit à l’équation 2/4 = 24/d, ce qui donne d = 48 ; calculons e :
 
U = 12, 24, 24, 48, e, ...
Avec r = 4, nous jaunissons le 4e chiffre de S et obtenons 4/2 = 48/e. La suite U descend pour la première fois car e = 24 ; calculons f :
 
U = 12, 24, 24, 48, 24, f, ...
Vous avez compris : on fait avancer la marque jaune d’un cran vers la droite à chaque tour, suivie de la marque bleue, puis on souligne les deux derniers termes de S, dont celui inconnu) ; on a donc, si l’on reprend le début de la procédure :
 
U = 12, b, ... (b vaut 24)
U = 12, 24, c, ... (c vaut 24)
U = 12, 24, 24, d, ... (d vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, e, ... (e vaut 24)
U = 12, 24, 24, 48, 24, f, ... (f vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, g, ... (g vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, h, ... (h vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, i, ... (i vaut 24)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, j, ... (j vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, k, ... (k vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, l, ... (l vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, m, ... (m vaut 48)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, 48, n, ... (n vaut 96)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, 48, 96, o, ... (o vaut 108)
U = 12, 24, 24, 48, 24, 48, 48, 96, 24, 48, 48, 96, 48, 96, 108, p,  ... (p vaut 72)
 
... aïe ! Nous notons la présence d’un zéro à l’intérieur de 108 ; que ferons-nous quand il s’agira de calculer le rapport 1/0 (dû au chiffre 1 de 108 et au zéro qui le suit) ? Nous serons bloqués – et U s’arrêtera là.
À moins que l’on remplace 108 par le plus petit nombre absent de U ?
C’est une technique de relance classique pour certaines suites de l’OEIS ; nous verrons ce que cela peut donner dans les jours qui viennent !
 
(à suivre)
 

Commentaires

  1. MFH22 novembre 2022 à 17:17

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  2. MFH22 novembre 2022 à 17:18

    Ce commentaire a été supprimé par l'auteur.

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  3. MFH22 novembre 2022 à 17:23

    One possibility is to simply ignore the digits 0. Do as if they were not there at all when you consider the digits of the sequence. (It makes it easy to find digit n: it is the first digit of term U((n+1)/2) if n is odd, and it is the last digit of the term U(n/2) if n is even.) If you do this, 108 is the only term with a digit 0, and after the term 108 and a subsequent 72 appeared 11 times, the sequence goes on with the second term, U(2) = 24, entering an infinite loop (containing 11 times ...,108, 72, ...). A second (more interesting?) variant it to cut numbers with a digit 0 in the only possible way in two parts: e.g., U(15) = 108 becomes digit(29)=10 and digit(30)=8, while a subsequent U(k)=240 becomes digit(2k-1)=2, digit(2k)=40. It seems that no 2-digit term ever has a digit 0, and the only other terms are 3-digit terms with precisely 1 digit 0: 108, 120, 240, 480, 960. (I feared one might see 2x960 or larger but so far I never saw this -- but I also did not yet find a loop although I guess it should become periodic from some point on.)

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  4. MFH22 novembre 2022 à 17:26

    [In the 2nd variant the digit 0 is used (always "glued" to the nonzero digit that precedes it), but it also doesn't count for the "digit number"/position, as shown by my formulas for digit(2k-1) and digit(2k) which are always part of U(k).]

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