Auto-suite horlogère et encre invisible

 Après plusieurs essais, j’ai retenu la typo classique jaune pour dessiner ce qui suit :

Voici l’idée : chaque nombre de la suite S ci-dessous est composé de deux parties – la tête et les jambes. La tête indique dans quelle direction il faut déposer un trait d’encre sur une feuille de papier (le début 12 indique le Nord, le début 3 indique l’Est, le 6 indique le Sud et le 9 l’Ouest – c’est facile à retenir, ce sont les « points cardinaux » des horloges classiques, il n’y aura jamais d’autre début pour un nombre dans ce travail que l’un de ces quatre-là) ; le reste du nombre (les « jambes ») marque la quantité de traits-unité qu’il faut poser dans cette direction. Ainsi 122 demande-t-il qu’on trace vers le Nord (le haut, midi, 12 heures) 2 traits à la suite (12 est la tête, suivie du 2 des jambes) ; 31 demande qu’on trace vers l’Est (la droite, 3 heures) 1 trait unique ; etc.

L’astuce mise en œuvre ici (par rapport à d’autres essais de suites qui se dessinent elles-mêmes, menés avec Carole D. dans le passé) est celle de l’encre invisible : quand un nombre est précédé du signe « moins », le déplacement piloté par la tête s’effectue comme expliqué – mais sans trace sur le papier ! Ainsi -92 demande-t-il que l’on se déplace simplement de deux unités vers l’Ouest (9 heures, la gauche).

Voici comment pourrait commencer une telle auto-suite graphique horlogère :

S = 31, 62, 91, -121, 31, -31, 121, 62, -31, 61, 121, ...

Ces 11 mouvements/traits inauguraux (dont 3 à l’encre invisible) dessinent le premier 31 de S et sa virgule, lesquels sont précisément les éléments graphiques qui commencent la suite.

Vous remarquerez qu’on peut repasser sur un trait (à l’encre visible ou invisible) sans que cela ne modifie le dessin d’un chiffre (l’encre invisible n’est pas une gomme).

Six interrogations miennes (au secours, l’équipe !) :

1) j’aimerais que la suite S soit la lexico-première en son genre (précisons que le signe « moins » ne joue pas de rôle lexicographique : -31 et 31 sont ici équivalents) ;

2) j’ai remarqué qu’on pouvait dessiner un nombre comme 31 ou 62 de plusieurs manières différentes (au sens de parcours, de suite de traits visibles et invisibles) : laquelle choisir ?

3) je pense qu’il faudrait retenir comme premier critère la quantité minimale de nombres (donc de traits, visibles ou invisibles) nécessaires pour dessiner un terme de S (comme 31, 62, ... ou -121) : la suite des 11 termes qui ouvrent S ci-dessus (dessinant donc le premier 31 et sa virgule) ne consomme que 11 termes – il semble qu’il n’y ait pas moyen de faire plus « économique » ;

4) en revanche, il y a peut-être moyen de faire « plus lexicographique » que le début ci-dessus (NdT : oui ! Voir mise à jour plus bas, au 17 février) ;

5) attention, le critère est bien celui de trouver un parcours lexico-minimal pour dessiner un terme de S (avec sa virgule) – pas de dessiner un à un les chiffres de ce terme dans leur ordre d’apparition : on peut ainsi dessiner un nombre (comme 31, 62, etc.) par morceaux successifs, dont l’assemblage final formera le terme entier (avec sa virgule toujours) ; regardez ci-après :

... le « 31 » jaune a été dessiné ici en finissant d’abord le 3 avant d’entamer le 1, mais ce n’était pas obligatoire – on aurait pu commencer pareil, avec le trait 31, puis enchaîner avec -31 (afin de passer de manière « invisible » sur le haut du 1 du « 31 » jaune), poursuivre  avec 62 (ce qui permettrait de dessiner complètement le 1 jaune de « 31 » par un mouvement vertical vers le bas), etc. (C’est d’ailleurs le dessin retenu pour la figure B de la mise à jour ci-dessous !) Trouver le parcours le plus économique, puis le lexico-premier des plus économiques est une tâche redoutable (vivement qu’un programme informatique teste en « force brute » tous les parcours possibles qui dessinent un terme de S !)

6) pour comparer ces parcours, fixons la règle suivante (arbitraire mais frappée au coin d’un certain bon sens, je crois) : excepté pour a(1) = 31, le dessin d’un terme a(n) de S commencera toujours en bas à gauche, au sommet de la virgule précédente, pour se terminer en haut du dessin (terminé) de la virgule suivante.

Voilà, tout est dit – je vais essayer de trouver les façons les plus économiques de dessiner chaque a(n) muni de sa virgule (et de son signe « moins » éventuel), puis de lexico-comparer les plus économiques d’entre eux afin de faire avancer, sinon le schmilblic(k), du moins S.

Breaking News et mise à jour du jeudi 17 février 2022:

J’ai lexico-amélioré le 31 de départ (muni de sa virgule) ! Ci-dessous la version A (qui ouvre cette page, le dessin commence au bout de la flèche rouge), battue par la version de la figure B :

           B.   31, -31, 62, -92, 31, 122, 61, 91, -33, -62, 121. 

                 1   2    3    4   5   6    7   8    9   10   11  

Voici un « dictionnaire horloger » décomposant chaque terme de la suite en son dessin (présumé) le plus « lexico-économique » ; il y a moins de 20 mots dans ce dictionnaire (la suite S ne sera construite qu’avec eux) – dont un hapax marqué d’un astérisque (c’est le 31 qui enchaîne les 11 mouvements successifs de la fig. B ci-dessus ; le 31 usuel vient juste après) :

 31* = 31,-31,62,-92,31,122,61,91,-33,-62,121. [11]

  31 = -31,31,121,91,-121,31,62,-31,122,-31,-63,121. [12]

 -31 = -32,31,121,91,-91,91,-33,121,91,-32,62,-31,61,121. [14]

 -32 = -35,91,121,31,121,91,-92,31,62,91,-121,31,-92,91,-36,-62,121. [17]

 -33 = -32,31,122,91,-32,31,62,91,-121,31,-92,91,-91,91,-36,-62,121. [17]

 -34 = -32,31,122,91,-61,31,-92,91,-35,91,121,-31,62,-31,61,121. [16]

 -35 = -34,31,121,91,121,31,-33,31,62,91,-121,31,-92,91,-36,-62,121. [17]

 -36 = -32,31,122,91,-33,91,62,31,121,91,-91,91,-91,91,-36,-62,121. [17]

  61 = -31,31,121,91,61,122,31,-31,62,-31,61,121. [12]

 -61 = -34,122,-91,91,62,31,121,91,-91,91,-35,-62,121. [13] 

  62 = -31,31,121,91,61,122,31,-31,31,61,91,61,31,-31,61,121. [16]

 -62 = -35,91,121,31,121,91,-91,91,62,31,121,91,-91,91,-36,-62,121. [17]

 -63 = -34,31,122,91,-91,91,62,31,121,91,-91,91,-34,31,-31,62,121. [17]

  91 = -31,31,122,91,61,31,-31,61,122,-31,-63,121. [12]

 -91 = -32,31,122,91,61,31,-92,91,-34,61,122,-31,-63,121. [14]

 -92 = -32,31,122,91,61,31,-92,91,-34,31,121,91,-61,61,31,-31,61,121. [18]

 121 = -31, 122,-31,31,61,91,61,31,-31,122,-31,-63,121. [13]

-121 = -32,122,-31,31,61,91,-92,91,-33,61,31,-31,122,-31,-63,121. [16]

 122 = -31,122,-31,31,61,91,61,31,-32,91,121,31,121,91,-32,-63,121. [17]

 

Les « mots » du dictionnaire ci-dessus (la colonne de gauche) commencent tous (sauf 31*) au sommet de la virgule qui précède ledit mot – et vont jusqu’à la virgule (terminée) qui suit.

Quant au nombre bleu entre crochets, il représente la quantité de traits-unité (visibles ou invisibles) posés sur le papier (ou sur l’écran, ou dans votre cœur, ou dans le mien) par l’imprimante.

Voici les 159 premiers termes de S (bientôt dans l’OEIS ? Oui, désormais ici) – pour calculer les autres il faudra un ordinateur : les yeux (et la main, et le cerveau) du taulier sont dans le rouge !

S₁₅₉ = 31,-31,62,-92,31,122,61,91,-33,-62,121,-32,31,121,91,-91,91,-33,121,91,-32,62,-31,61,121,-31,31,121,91,61,122,31,-31,31,61,91,61,31,-31,61,121,-32,31,122,91,61,31,-92,91,-34,31,121,91,-61,61,31,-31,61,121,-31,31,121,91,-121,31,62,-31,122,-31,-63,121,-31,122,-31,31,61,91,61,31,-32,91,121,31,121,91,-32,-63,121,-31,31,121,91,61,122,31,-31,62,-31,61,121,-31,31,122,91,61,31,-31,61,122,-31,-63,121,-32,31,122,91,-32,31,62,91,-121,31,-92,91,-91,91,-36,-62,121,-35,91,121,31,121,91,-91,91,62,31,121,91,-91,91,-36,-62,121,-31,122,-31,31,61,91,61,31,-31,122,-31,-63,121,...

P.-S.

Ci-dessous, premier dessin sorti ce vendredi 18 février de la Turtle-imprimante de Carole : il s’agit du début de S ci-dessus, tel que produit par les 159 termes de S elle-même – merveille !-)

(Merci à Robert Crumb)