Cumulative sums (and products)

Antoni Tapiès, Linia discontinua, 1967

From Wolfram MathWorld: « A cumulative sum is a sequence of partial sums of a given sequence. For example, the cumulative sums of the sequence {a, b, c, ...} are a, a+b, a+b+c, ... »

We want to build here the lexicographically earliest permutation P of the integers > 0 such that the cumultive sums Q reproduce P digit by digit. Are both P and Q correct?

The first 50 terms of P (computed by hand) seem to be:

P = 91, 10, 1, 102, 20, 4, 2, 24, 22, 8, 230, 25, 42, 7, 6, 28, 45, 14, 5, 3, 9, 58, 15, 88, 59, 46, 226, 66, 76, 81, 68, 689, 69, 87, 56, 77, 18, 599, 189, 64, 11, 90, 12, 561, 33, 21, 41, 13, 148, 2170, ...
P will be submitted soon to the OEIS.
_________________________________________________________________

The variant with the cumulative products M (instead of the cumulative sums P) is fun to explore:
The first 79  terms of M (also computed by hand) seem to be:

M = 1, 11, 2, 25, 50, 27, 500, 7, 4, 2500, 3, 71, 250000, 259, 8, 750000, 10, 39, 5000000, 2598, 7500000000, 77, 9, 6, 2500000000, 5, 53, 533, 75000000001, 38, 383, 43, 75000000000000, 35, 84, 13, 103, 12, 5000000000000, 28, 67, 30, 48, 25000000000000000, 21, 504, 78, 61, 87, 50000000000000000000, 2150, 47, 86, 18, 7500000000000000000000, 83, 868, 66, 613, 12500000000000000000000, 41, 93, 433, 306, 56, 2500000000000000000000000000, 108, 94, 539, 730, 44, 937, 5000000000000000000000000000, 81, 70, 90, 479, 783, 703, 12500000000000000000000000000000000000, ...

This sequence will be submitted soon to the OEIS.
Arman, Accumulation de crayons de couleur, 1998

























Commentaires

Enregistrer un commentaire

Posts les plus consultés de ce blog

A square for three (chess)

Image
(English translation after the French text) Voici cinq problèmes d’échecs disjoints : a ) combien faut-il de coups au minimum pour que trois pions soient capturés sur la même case ? b ) trois tours c ) trois cavaliers d ) trois fous e ) trois dames Here are five disjointed chess problems: a) how many moves are required at least for three pawns to be captured on the same square? b) three rooks c) three knights d) three bishops e) three queens Solutions a ) (corrigé grâce à Orion , ici ) 3,5 coups pour 3 pions capturés en b5 (4 moves for White and 3 moves for Black   — 3 pawns  captured on b5)  b ) 5  coups pour 3 tours capturées en a3 (ci-dessous – merci aussi à Orion !-) (5 moves for White and 5 moves for Black  — 3 rooks  captured on a3  hereunder )  c ) 5  coups pour 3 cavaliers capturés en d5  ( ci-dessous) (5 moves for White and 5 moves for Black   — 3 knights  captured on d5  hereunder )  (merci Orion !-) d ) 7  coups pour 3 fous capturés en h6  ( ci-dessous) (7 moves for Whit
Lire la suite

Beautés ?

Image
Beau comme un clavier ? Un deuxième ? (celui de Modotti)   Beau comme le dos d ’ un timbre proposé par Delcampe ? Beau comme une série ukrainienne où les avions râpent le Kremlin ? Belle comme Chargois ? ... belle comme Germaine Richier ? Bel atelier ? Beau comme une pièce de 1 santim ? ... ou comme une pièce de 50  santeem ? ... Byrrh , beau comme un anus ? Beau comme la collection de Marin Karmitz à Beaubourg ? Belles Ménines ? Beau comme Marcel Duchamp ? Beau comme Jean-Luc Godard ? Beau comme la réouverture de l ’ Einsteinturm à Berlin ? Beau comme un anneau dudit ? Beau comme Eisenstein ? Beau comme les fleurs de Pascale hier matin ? Beau comme on dirait la planète Mars ? Beau comme des recherches personnelles ? Beau comme une marelle (vers le ciel) ? Beau comme un triple selfie (au Man Ray ) ? Beau comme le ciel de Sacha , mardi, en face du restaurant La Montagne ? (qui a rouvert) ... beau comme ce bleu-là de Lo ? Beau comme le froid ? Beau comme une Vespa ? Beau comme Cloon
Lire la suite

Underline, reproduce

Image
Dall.e creation If we underline the... « first, second, third, fourth, fifth, sixth, seventh, eighth, ninth, tenth, eleventh,… » letter of this sentence S 1 , we see that the successive underlined letters simply reproduce S 1 . No big deal. If we decide not to start S 1   with "first" but with "sixth", we can reproduce the new S 6  quite easily: S 6 = sixth , second, third, fourth, fifth, first , seventh, eighth, ninth, tenth, eleventh,… S 6  was reproduced in a slightly less mechanical manner than  S 1 :  just two words of  S 1   swapped here ("first" and "sixth", in red, above). If we start S 8  with "eighth" we just swap again a pair of words of S 1  ("first" and "eighth", in red, hereunder): S 8  = eighth , second, third, fourth, fifth, sixth, seventh, first , ninth, tenth, eleventh,… What about starting S 9  with "ninth"? How many swaps do we need to reproduce S 9 ?  This is more tricky! (Indeed, we
Lire la suite