Fabriquons une suite fractale
C’est la rubrique de Jean-Paul Delahaye dans le PLS de janvier (2022, en couverture ci-dessus) qui m’a remis en mémoire ces suites sympathiques.
Voici quelques captures d’écran de l’article de Jean-Paul (j'envoie le .pdf complet à qui veut), lesquelles nous permettront d’y voir plus clair dans la définition des suites fractales.
Il y a
quelques années, nous avons cherché, avec plusieurs amis, à
renouveler le genre de la « fractale par extraction ». Voici quelques
manières de faire particulières :
« Dès que deux termes successifs ont pour somme un nombre premier, on les supprime ». Les termes non supprimés reforment la suite d’origine.
Il s’agit
de la suite A274329 de l’OEIS – où est imposée une technique de construction
permettant à tous les entiers de figurer au moins une fois dans la suite.
Les
premiers termes de S et son graphe figurent ci-dessous.
S = 1, 2, 4, 3, 1, 5, 6, 2, 4, 8, 9, 3, 1, 5, 7, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 15, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 17, 20, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 18, 19, 15, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 17, 21, 22, 20, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 18, 24, 23, 19, 15, 11, 9, 3, 1,…
Les paires de termes contigus dont la somme est première sont en jaune :
S = 1, 2, 4, 3, 1, 5, 6, 2, 4, 8, 9, 3, 1, 5, 7, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 15, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 17, 20, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 18, 19, 15, 11, 9, 3, 1, 5, 7, 13, 17, 21, 22, 20, 16, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 14, 18, 24, 23, 19, 15, 11, 9, 3, 1,…
On remarque plusieurs choses :
– les
paires jaunes sont de plus en plus espacées : il n’y a aucun terme entre
les deux premières, puis un terme (le 1), puis deux termes (2 et 4), puis trois
termes (3, 1 et 5), puis quatre termes (6, 2, 4, 8) etc. Ces termes (non jaunes) sont précisément ceux qui
reforment S ;
– aucun
terme jaune n’est dupliqué : chacun ne figure (par construction) qu’à un seul
exemplaire (jaune) dans S ;
– aucun
nombre jaune (par construction également) n’appartient à deux sommes premières
différentes.
Le graphe de cette suite (ci-dessus), par son côté « forêt en croissance », se distingue du graphe tout en lignes droites de https://oeis.org/A003602 (cette suite-là est considérée comme la « mère de toutes les fractales », graphe ci-dessous – entre amis nous l’appelions « la Kimberling ») :
Sur le
modèle des sommes premières, voici une deuxième façon de produire une
fractale par extraction :
« Dès que deux termes successifs produisent un nombre premier par concaténation, on les supprime ». Les termes non supprimés reforment la suite d’origine.
Il s’agit
de la suite A303845 de l’OEIS. Ici aussi, par construction, tous les entiers y figurent.
Les premiers termes de T et le graphe qui en résulte sont ci-dessous.
T = 1, 2, 3, 2, 4, 7, 5, 9, 3, 2, 4, 6, 13, 8, 11, 7, 5, 10, 19, 12, 17, 14, 23, 15, 31, 9, 3, 2, 4, 6, 16, 21, 18, 47, 13, 8, 20, 27, 22, 37, 11, 7, 5, 10, 24, 41, 19, 12, 25, 39, 26, 33, 17, 14, 28, 43, 23, 15, 29, 53, 31, 9, 3, 2, 4, 6, 16, 30, 49, 21, 18, 32, 51, 34, 57, 47, 13, 8, 20, 35, 59, 36, 71, 38, 63, 27, 22, 40, 73, ...
Les paires de termes dont la concaténation forme un nombre premier sont en jaune :
T = 1, 2, 3, 2, 4, 7, 5, 9, 3, 2, 4, 6, 13, 8, 11, 7, 5, 10, 19, 12, 17, 14, 23, 15, 31, 9, 3, 2, 4, 6, 16, 21, 18, 47, 13, 8, 20, 27, 22, 37, 11, 7, 5, 10, 24, 41, 19, 12, 25, 39, 26, 33, 17, 14, 28, 43, 23, 15, 29, 53, 31, 9, 3, 2, 4, 6, 16, 30, 49, 21, 18, 32, 51, 34, 57, 47, 13, 8, 20, 35, 59, 36, 71, 38, 63, 27, 22, 40, 73, ...
On
remarque plusieurs choses, ici aussi :
– la
répartition des paires jaunes ne semble obéir à aucun motif particulier :
pourtant le graphe de la suite présente une certaine régularité (voir ci-dessous) ;
– aucun
terme jaune n’est dupliqué : chacun ne figure (par construction) qu’à un seul
exemplaire (jaune) dans T ;
– aucun
nombre jaune (par construction également) n’appartient à deux concaténations premières
différentes. Le graphe de T :
Voici
une 3e fractale par extraction :
« Dès que deux termes successifs ont pour somme un nombre de Fibonacci, on les supprime ».
Les
termes non supprimés reforment la suite U d’origine.
Il s’agit
de l’entrée A303950 de l’OEIS. Ici aussi tous les entiers y figurent (par
construction).
Les
premiers termes de U et le graphe qui en résulte sont reproduits ci-dessous :
U = 1, 2, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 4, 6, 7, 9, 1, 3, 8, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 15, 19, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 18, 20, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 15, 17, 38, 19, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 16, …
La couleur jaune est portée sur les paires de termes contigus dont la somme est égale à un nombre de la célèbre suite de Fibonacci :
U = 1, 2, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 4, 6, 7, 9, 1, 3, 8, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 15, 19, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 18, 20, 11, 7, 9, 1, 3, 8, 12, 15, 17, 38, 19, 22, 13, 5, 2, 4, 6, 10, 14, 16, …
Ici
aussi :
– les
paires jaunes sont de plus en plus espacées : il n’y a aucun terme entre
les deux premières, puis il y a un terme (le 1) entre les paires jaunes (4,9) et (3,5) – puis deux termes (2 et 4) entre paires jaunes, puis trois
termes (9, 1 et 3) etc. Ces termes (non jaunes) sont précisément ceux qui
reforment U ;
– aucun
terme jaune n’est dupliqué : chacun ne figure (par construction) qu’à un seul
exemplaire (jaune) dans S ;
– aucun
nombre jaune (par construction également) n’appartient à deux sommes Fibonacci
différentes. Le Fibo-graphe correspondant :
Mentionnons
encore les « fractales par extraction » suivantes – fabriquées toutes
sur le même principe que ci-dessus :
A303936 : on efface les paires de termes contigus dont la somme est un nombre composé ; le graphe est ici.
A303948 :
on efface les paires de termes contigus qui partagent un chiffre
au moins ; le graphe est là.
A302389 :
on efface les paires de termes contigus qui ne partagent pas
un chiffre au moins ; le graphe est ici.
Nous annoncions dans le titre la fabrication d’une nouvelle suite fractale par extraction – en voici la définition :
« Dès que deux termes successifs ont pour somme un nombre impair, on les supprime ». Les termes non supprimés (en gras plus loin) reforment la suite d’origine.
V = 1, 2, 4, 3, 1, 5, 6, 2, 4, 8, 7, 3, 1, 5, 9, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 11, 7, 3, 1, 5, 9, …
En jaune, les paires contiguës que nous extrayons :
V = 1, 2, 4, 3, 1, 5, 6, 2, 4, 8, 7, 3, 1, 5, 9, 10, 6, 2, 4, 8, 12, 11, 7, 3, 1, 5, 9, 13, 14, …
Le motif
« taille des trous (gras) » entre paires jaunes est régulier.
(Je vais
demander de l’aide à Carole D. pour obtenir plus de termes.)
Avec peut-être à la clef un joli (?) graphe (si l’OEIS accepte cette suite V !)
Mise à jour du lundi soir, 31 janvier 2022
Le w.-e. porte conseil. Je me suis demandé comment faire pareil que ci-dessus, mais au lieu de supprimer les sommes impaires, supprimer plutôt les sommes paires. Ça ne marche pas avec la suite des entiers naturels (aucune somme paire de deux termes contigus n’apparaît jamais, comme c’est visible ci-dessous) :
W = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
... on s’oblige alors à commencer W avec a(1) = 1; a(2) = 2 et a(3) = 4 (comme pour V ci-dessus). La suite cherchée semble viable – voici sa construction en détail :
W = 1, 2, 4, ...
La somme 2 + 4 est paire et va disparaître, il faut donc faire renaître les termes 2 et 4 le plus vite possible – et ce par le truchement d’une paire de termes contigus impairs, lesquels vont disparaître aussi afin de ressusciter a(2) = 2. Le reste est facile :
W = 1, 2, 4, 3, 5, 2, 7, 9, 4, 3, 6, 8, 5, 2, 7, 10, 12, 9, 4, 3, 6, 11, 13, 8, 5, 2, 7, 10, 15, 17, 12, ...
La « taille des trous gras » (entre doublets jaunes à somme paire) dessine aussi un motif régulier.
Et les triplets à somme paire ?! Ça fonctionne ! Définition de X :
« Dès que trois termes successifs ont pour somme un nombre pair, on les supprime ». Les termes non supprimés reforment la suite d’origine.
X = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 1, 2, 10, 5, 7, 3, 9, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 6, 8, 1, 2, 10, 5, 16, 18, 20, 7, 22, 24, 26, 3, 28, 30, 32, 9, 34, 36, 38, 11, 12, 4, 13, 14, 40, 17, 19, 15, 21, 23, 42, 6, …
Explication : en jaune ci-dessous, comme d’habitude, les triplets successifs que nous extrayons (la somme des trois termes jaunes contigus qui constituent un triplet est paire, aucun terme jaune n’appartient à deux triplets, tous les termes jaunes sont distincts et X est la lexico-première suite fractale de ce type – c’est le cahier des charges usuel) :
X = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 1, 2, 10, 5, 7, 3, 9, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 6, 8, 1, 2, 10, 5, 16, 18, 20, 7, 22, 24, 26, 3, 28, 30, 32, 9, 34, 36, 38, 11, 12, 4, 13, 14, 40, 17, 19, 15, 21, 23, 42, 6, 25, 44, 27, 8, 46, 29, 31, 1, 33, 35, 48, 2, 37, 50, 39, 10, 52, 41, 43, 5, 45, 47, 54, 16, 49, 56, 51, 18, 20, 7, 22, 24, 53, 58, 55, 26, 60, 57, 59, 3, 61, 63, 62, 28, 65, 64, 67, 30, 32, 9, 34, 36, 69, 66, 71, 38, 68, 73, 75, 11, 77, 79, 70, 12, 81, 72, 83, 4, 74, 85, 87, 13, 89, 91, 76, 14, 93, 78, 95, 40, 80, 97, 99, 17, 19, 15, 21, 23, 101, 103, 82, 42, 105, 84, 107, 6, 86, 109, 111, 25, 113, 115, 88, 44, 27, 8, 46, 29, 90, 92, 94, 31, 96, 98, 100, 1, 102, 104, 106, 33, 108, 110, 112, 35, 48, 2, 37, 50, 114, 117, 119, 39, 121, 123, 116, 10, 125, 118, 127, 52, 120, 129, 131, 41, 43, 5, 45, ...
On voit que les termes non jaunes et gras reforment X. La taille des « trous » semble ne suivre aucun motif : comment est-ce possible, il doit bien y en avoir un ! Car la suite X est indubitablement « fractale par extraction » ! Je retourne chez Carole D. pour de l’aide... (et chercherai plus tard la suite Y composée de triplets à somme impaire, bien sûr – sans même évoquer les doublets et les triplets à produit pair ou impair !-)
Mise à jour du lundi soir suivant, 7 février :
Voici les triplets à somme impaire à extraire, calculés par Carole :
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