Polygones binaires (un complément pour Tangente ?)

Polygones binaires

(sur des idées de Gilles Esposito-Farèse et Nicolas Graner)

Dans la série « Comment transformer un entier N en polygone » faisons appel aujourd’hui au système binaire.

Premier cas

Les entiers N dont la représentation binaire B ne comprend qu’un seul chiffre « 1 » sont représentés par un rectangle horizontal R de côté-unité 1. La longueur de ce rectangle (en côtés-unité) est donnée par le nombre de chiffres de B.

Ci-dessous, les nombres binaires 1, 10, 100, 1000 et 10000 avec les rectangles associés de longueur 1, 2, 3, 4 et 5 (les périmètres et surfaces de tous ces rectangles sont des nombres entiers) : 

 

Deuxième cas

Les entiers N dont la représentation binaire B comprend exactement deux chiffres « 1 » (suite A018900 de l’OEIS) sont représentés par deux rectangles R formant un L majuscule. La case de coin du L, commune aux deux rectangles, n’appartient à aucun des deux (elle est marquée d’une étoile verte ici). Pour retrouver le nombre binaire B à partir du polygone en L, on lit d’abord la branche verticale du L puis sa branche horizontale (aucune ne peut inclure la case de coin). 

Voici les « L » qui correspondent aux nombres binaires 11, 101, 110 – puis, dessous, 1001, 1010, 1100 et 10100 ; ces polygones en L représentent respectivement les nombres décimaux 3, 5, 6, 9, 10, 12 et 20 – ici aussi périmètres et surfaces se mesurent en nombres entiers :

Troisième cas (tous les autres)

Les entiers N dont la représentation binaire B comprend k chiffres « 1 » (k > 2) ont pour « noyau central » un polygone régulier comportant k côtés-unité. Par exemple :

— tous les B qui comportent exactement 3 chiffres « 1 » ont pour noyau un triangle équilatéral ;

— tous les B qui comportent exactement 4 chiffres « 1 » ont pour noyau un carré ;

— tous les B qui comportent exactement 5 chiffres « 1 » ont pour noyau un pentagone, etc.

. . .

À chaque côté du noyau est greffé un rectangle-unité R semblable à ceux qui ouvrent cette page. On greffe ces derniers aux k côtés du polygone régulier, en commençant à « midi » puis en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.

 

Voici par exemple comment associer un polygone au nombre N = 205488.

1) on écrit N en binaire : N = 110010001010110000

2) on compte le nombre k de chiffres « 1 » qui sont dans N (k = 7 ici)

3) on dessine un heptagone régulier ayant un côté-unité horizontal à midi

4) on met une oblique avant chaque « 1 » de N-binaire, ce qui permet de visualiser les rectangles R successifs qui seront greffés à l’heptagone central :

N = 110010001010110000 ——> /1/100/1000/10/10/1/10000

5) on greffe les 7 R dans l’ordre de la pile ci-dessus, en commençant à midi et en tournat dans le sens des aiguilles d’une montre – ce qui mène au polygone P₂₀₅₄₈₈ cherché :

Le périmètre de P₂₀₅₄₈₈ est toujours un nombre entier facile à calculer (il vaut 43 ici – c’est 3 fois la quantité de « 1 » + 2 fois la quantité de « 0 », soit 3*7 + 2*11 = 21 + 22 = 43) ; la surface du polygone P₂₀₅₄₈₈ est celle d’un heptagone-unité (donc 3,6339124... quand on ne garde que 7 chiffres après la virgule) auquel on ajoute le nombre de carrés-unité présents dans l’ensemble des rectangles R (18 dans l’exemple – c’est la quantité de chiffres binaires bleus que comporte N ci-dessus).

La surface de P₂₀₅₄₈₈ vaut donc 18 + 3,6339124... = 21,6339124...

Il semble que la plupart des polygones binaires dessinent d’étranges étoiles de mer accidentées...

P.-S.

Le seul avantage de toutes ces représentations est que les périmètres et surfaces des polygones binaires sont simples et rapides à calculer ; pour le cas #3 on trouve en ligne tous les paramètres (donc les surfaces) des polygones réguliers, quel que soit leur nombre de côtés. 

À titre d’exercice, voici 3 polygones en « étoiles de mer » : retrouverez-vous les nombres décimaux qu’ils représentent ? La solution est écrite en blanc sur fond blanc juste sous la dernière image.

Noyau triangle (trois chiffres 1 en binaire) –> 10 / 1000 / 1 = 1010001 = 81

Noyau carré (quatre chiffres 1 en binaire) –> 1 / 10 / 1 / 1 = 11011 = 27

Noyau pentagone (cinq chiffres 1 en binaire) –> 1 / 100 / 1 / 1 /10 = 11001110 = 206