9 tiroirs et des zéros
(English translation below Joan Semmel’s illustration)
(Many thanks to Hans Havermann for the simple and elegant way in which he has summarized this long post)
FRENCH
Depuis
des lunes le bureau du taulier est encombré de cahiers, de liasses de papier,
de bloc-notes, de feuilles volantes recouvertes de chiffres, de calculs d’apothicaire,
de spirales de nombres, de carrés, d’escaliers, de pyramides, de graphiques, de
beaux pavages, de montants à payer – de nombres soulignés, barrés, rehaussés de
couleur, écrits au crayon, au Bic, à l’encre, au marqueur fin japonais, ces nombres
formant souvent des listes, des alignements interminables, des pattes de
mouches, des blocs, des suites, des additions, des multiplications, des
concaténations, on en passe.
Ça
suffit. Mettons de l’ordre.
Sifflons
les entiers naturels et plaçons-les au fur et à mesure qu’ils se présentent dans
9 tiroirs bien propres et bien distincts, étiquetés T1 à T9.
Quand le premier milliard d’entiers sera rangé, nous constaterons qu’il y a autant de chiffres 1 qui figurent dans le tiroir T1 que de chiffres 2 dans le tiroir T2, de
chiffres 3 dans le tiroir T3, de chiffres 4 dans le tiroir T4, etc. – jusqu’aux chiffres 9 dans T9.
On trouvera aussi
des 1 dans le tiroir T9, bien sûr (on explique plus bas pourquoi 91
est rangé dans le dernier tiroir) ou des 8 dans le tiroir 5 (on explique aussi le
rangement de 583 dans T5) : tout ceci semble affreusement
compliqué – mais s’inscrit dans un schéma simple et logique, en fait (dès qu’on a compris).
Mais
quid du Zéro, diront les amateurs de chocolat ? Quid du groupe NUL (Herman
de Vries, Jan Schoonhoven, Henk Peeters, Armando) ? Quid de la Résistance
en France et en Belgique (Groupe Zéro : Louis Everaert, Jacques Stork ;
Réseau Zéro : René Hecquet, Joseph Dubar, Paul Joly ; Service Zéro :
Fernand Kerkhofs, William Ugeux, Albert Hachez, Maxime Vanpraag, André
Rostenne, Louise de Landsheere) ? Quid des artistes ZERO (Heinz Mack, Otto
Piene, Günther Uecker, Lucio Fontana, Pol Bury, Yves Klein, Piero Manzoni,
Jesus-Rafaël Soto, Daniel Spoerri, Jean Tinguely, Walter Leblanc, Jef Verheyen,
Paul Van Hoeydonck, Hans Haacke,
Agostino Bonalumi, Enrico Castellani, Dadamaino, Saburo Murakami, Shozo Shimamoto, Jiro Yoshihara, Yayoi Kusama) ?
Eh bien, vu qu’aucun nombre ne commence par un ou plusieurs zéros, nous n’assignerons aucun tiroir aux nombres qui en comportent. Les nombres avec un ou plusieurs zéros seront rangés dans les autres casiers (2024, avec son zéro, sera
rangé dans T2 par exemple – et 1000, avec ses trois zéros, finira dans le tiroir T1 – explication plus bas).
Voyons d’abord
comment s’est rempli ce tiroir 1 – nous expliquerons plus tard la sympathique mais
impitoyable méthode utilisée :
T1
= 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106,
107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 123,
124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140,
141, 142, 143, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 156, 157, 158,
159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175,
176, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 189, 190, 191, 192, 193,
194, 195, 196, 197, 198, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911, 1000, 1001, 1002,
1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 1010, 1011, 1012, 1013, 1014, 1015,
1016, 1017, 1018, 1019, 1020, 1021, 1023, 1024, 1025, 1026, 1027, 1028, 1029, 1030,
1031, 1032, 1034, 1035, 1036, 1037, 1038, 1039, 1040, 1041, 1042, 1043, 1045,
1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051, 1052, 1053, 1054, 1056, 1057, 1058, 1059,
1060, 1061, 1062, 1063, 1064, 1065, 1067, 1068, 1069, 1070, 1071, 1072, ...
Le
tiroir T2 s’est rempli ainsi :
T2
= 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 122, 200, 201, 202, 203, 204, 205,
206, 207, 208, 209, 210, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222,
223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 239,
240, 241, 242, 243, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 256, 257,
258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274,
275, 276, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 289, 290, 291, 292,
293, 294, 295, 296, 297, 298, 322, 422, 522, 622, 722, 822, 922, 1022, 1202,
1220, 1222, 1223, 1224, 1225, 1226, 1227, 1228, 1229, 1232, 1242, 1252, 1262,
1272, 1282, 1292, 1322, 1422, 1522, 1622, 1722, 1822, 1922, 2000, 2001, 2002,
2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016,
2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028, 2029,
2030, 2031, 2032, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038, 2039, 2040, 2041, 2042, 2043,
2045, 2046, 2047, 2048, 2049, 2050, 2051, 2052, 2053, 2054, 2026, 2057, 2058,
2059, 2060, 2061, ...
Il est
temps d’expliquer :
a) pourquoi
ranger 17 dans T1 ? Parce que 1 est plus petit que 7.
b) pourquoi
ranger 10 dans T1 ? Parce que 0 ne compte pas.
c) pourquoi
ranger 11 dans T1 ? Parce que 11 n’est fait que de chiffres 1.
d)
pourquoi ne pas ranger 20 dans T1 ? Parce que 20 n’affiche aucun 1.
e)
pourquoi ne pas ranger 21 dans T1 ? Parce que 12 y figure déjà – c’est la Loi Miroir que nous détaillerons plus bas.
f) pourquoi
ranger 102 dans T1 ? Parce que 1 est plus petit que 2 (zéro ne compte
pas).
g) pourquoi
ranger 112 dans T1 ? Parce que les 1 sont majoritaires dans 112.
h)
pourquoi ranger 120 dans T1 ? Parce que 1 est plus petit que 2 (zéro ne
compte pas).
i)
pourquoi ranger 123 dans T1 ? Parce que 1 est plus petit que 2 et 3.
j) pourquoi
201 n’est pas dans T1 ? Parce que 102 et 120 y sont déjà – c’est encore la Loi Miroir.
Pause Miroir
Explication
de la Loi Miroir
(elle est inutilement compliquée selon Hans Havermann – sa façon de procéder est beaucoup plus rapide, explication en anglais sous la photo couleur en bas de page)
Exemple
1
Où faut-il
ranger le nombre 6397 ?
On affiche
toutes les combinaisons possibles des chiffres de 6397 – lesquelles seront mises dans leur ordre d’arrivée sur 4
colonnes – car 6397 comporte 4 chiffres :
3679 6379 7369 9367
3697 6397 7396 9376
3769 6739 7639 9637
3796 6793 7693 9673
3967 6937 7936 9736
3976 6973 7963 9763
Voilà, c’est
facile (et logique) : les nombres de la colonne 1 iront dans T3, ceux de la colonne 2 dans T6, ceux de la colonne 3
dans T7 et ceux de la colonne 4 dans T9.
6397 va donc
dans le tiroir T6
Exemple
2
Où faut-il
ranger le nombre 700936 ?
On voit
que la suppression des zéros nous ramène au cas précédent : 700936 ira
donc dans T7.
Exemple
3
Où faut-il
ranger le nombre 814 ?
On
affiche toutes les combinaisons possibles des chiffres de 814 – lesquelles seront mises dans leur ordre d’arrivée sur 3 colonnes – car 814 comporte 3 chiffres :
148 418 814
184 481 841
La
colonne 1 va dans T1, la colonne 2 dans T4 et la colonne 3 dans T8. 814 va
donc dans T8.
Exemple
4
Où faut-il
ranger le nombre 58058063047041025 ?
a) Le
chiffre le plus représenté dans 58058063047041025 est
zéro (5 occurrences) ; comme les zéros ne comptent pas, on les supprime et
on obtient 585863474125 .
b) Le
chiffre le plus représenté est à présent 5 (trois occurrences pour 5, deux pour
8, deux pour 4, une seule pour 1, 2, 3, 6 et 7) : 585863474125 va donc logiquement
dans T5.
c) Supprimons
le premier 5 de 58058063047041025 et voyons où ranger 8058063047041025.
Les
zéros ne comptent toujours pas, on les supprime et on obtient 85863474125.
Les
chiffres les plus représentés sont 8 (deux occurrences), 5 (idem) et 4 (idem).
Ces
chiffres « majoritaires à égalité » forment 854.
On s’inspire
de l’Exemple 3 pour ranger 85863474125 dans T8.
La Loi Miroir permet ainsi d’affecter un tiroir T1, T2, T3, ... T9 à tous les nombres naturels.
Questions
Quels
sont les 1000 premiers termes à entrer dans le tiroir T1 ? Dans T2 ? Dans T3, etc. ?
Quand le rangement général du premier milliard de nombres
> 0 sera terminé, combien de chiffres 1 figureront dans T1 ?
Dans
quels tiroirs et comment seront répartis les zéros du premier milliard de nombres > 0 ?
Joan Semmel
We want to distribute the first billion numbers > 0 into 9 drawers.
The quantity of digits 1 present in the first drawer will be identical to the quantity of digits 2 in the second drawer, which will be identical to the quantity of digits 3 present in the third drawer, etc. – up to the quantity of digits 9 in the drawer 9.
We don’t use a special drawer for the numbers that contain one or more zeros – we will treat those numbers as if the zeros weren’t present (they will end in the drawers D1 to D9).
I now give the floor to Hans H. and the little dialogue we just had.
HH
> I’m trying to understand all of your examples (and the Pause Miroir) in the translation of this post.
> What is the drawer number for 766188033?
ÉA
> I would put yr number in the drawer 6.
HH
> Yes, that was my choice. Here is how I have structured my program:
— Ignoring zeros, find the number of occurrences of the other nine digits (1, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 2, 0).
— Take the maximum of these quantities (2).
— Find for which digits the maximum occurs (3, 6, 8).
— Stepping through the number, left to right, stop when we are at any one of the digits where the maximum occurs.
— This is the drawer number.
I think what may have confused me was (for 17 et al.) the "plus petit". That 1 is *smaller* than 7 is not what my program determines, rather, that 1 appears *earlier* than 7, left to right. So 201 goes to drawer 2 because 2 appears earlier than 1. No mirror needed.
Anyways, I’m running the number of digit-1s in drawer 1.
I assume "milliard" is 10^9.
ÉA
> Indeed Hans – many thanks!
________________________________________________________
Update a few hours later, same day, by Hans:
HH
To: eric.angelini@skynet.be
Envoyé: vendredi 14 juin 2024 22:44
Objet: Re: 9 tiroirs et des zéros
>> "I’m running the number of digit-1s in drawer 1."
> I have 278385889 digit-1s after 1000000000 is put therein.
> Hopefully someone else will do this calculation as well.
ÉA
Waooow, Hans! Incredible !-)
Will see if I can find someone confirming that – and that this amount is the same in the other drawers!
Bravo!
> I have 278385889 digit-1s after (...)
(and no digit 1 in 278385889 !-)
Best,
É.
HH
I think the other drawers will all have one less (i.e. 278385888). What breaks the equality is the addition of the 1 from the final 1000000000.
I’ll do the run for digit 0 for all nine drawers. In this case drawer 1 should have 9 more zeros than the other drawers.
(Dall-e creation)
Did you add that final remark from HH after I sent my email? I don't remember having it seen when I wrote my reply (including that remark)...
RépondreSupprimerCe commentaire a été supprimé par l'auteur.
Supprimer