A chess knight dropping figures

(Dall-e creation)

We place a chess knight on a square of an infinite grid plane. This square is marked by zero. The knight jumps, lands on a first square and marks this square with a 1. He jumps again and marks the landing square with a 2. Another jump and we have a square marked 3, etc.
.............
......3......
....2........
......1......
........0....
.............
.............
At this stage we see 4 numbers on the grid – which sum up to 6.
But as we want to maximise the sum, we try another path for the knight:
.............
.............
........2....
......1......
.......30....
.............
.............
The sum is now 33. This is, I guess, impossible to beat.
What about 4 jumps? What is the maximum sum we can reach? Is it 73?
.............
.............
........2....
.....41......
.......30....
.............
.............
With 5 jumps, is the maximum 123?
.............
.............
.......52....
.....41......
.......30....
.............
.............
Since this knight can only place one digit per square, he will have to place the number 10 in two jumps – the first jump for the digit 1 and the second jump for the digit 0.
(The grid does not accept numbers with leading zeros at any stage of the construction.)
What is the maximum sum we can reach with the 11 jumps needed to place the 11 digits of the integers 0 to 10?
Here are a few tries:
---------------
...............
...............
......852......
....7411.......
.....96300..... sum = 852 + 7411 + 96300 = 104563
...............
...............
---------------
...............
...............
.....3811......
.......6....... 
....472900..... sum = 3811 + 6 + 472900 + 5 = 476722
......5........
...............
---------------
...............
...............
........81.....
........5......
......490720... sum = 81 + 5 + 490720 + 631 = 491437
.......631.....
...............
---------------
We could submit to the OEIS the largest possible sums reachable in n jumps.
The sequence K starts perhaps like this:
K = 1, 3, 33, 73, 123, ...
____________________
Next morning updates
Giorgos Kalogeropoulos and Jean-Marc Falcoz were quick to submit the hereunder results and extend K to 10 terms:
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------

We thus have so far for K (the blue terms are confirmed maximums):
K = 1, 3, 33, 73, 546, 723, 7669, 11259, 98892, 947305, 9472116, 103192539, ...
Merci and bravo to both Giorgos and Jean-Marc !
____________________
April 16th update by Nicolas Graner

(Dall-e creation)


Commentaires

Enregistrer un commentaire

Posts les plus consultés de ce blog

A square for three (chess)

Image
(English translation after the French text) Voici cinq problèmes d’échecs disjoints : a ) combien faut-il de coups au minimum pour que trois pions soient capturés sur la même case ? b ) trois tours c ) trois cavaliers d ) trois fous e ) trois dames Here are five disjointed chess problems: a) how many moves are required at least for three pawns to be captured on the same square? b) three rooks c) three knights d) three bishops e) three queens Solutions a ) (corrigé grâce à Orion , ici ) 3,5 coups pour 3 pions capturés en b5 (4 moves for White and 3 moves for Black   — 3 pawns  captured on b5)  b ) 5  coups pour 3 tours capturées en a3 (ci-dessous – merci aussi à Orion !-) (5 moves for White and 5 moves for Black  — 3 rooks  captured on a3  hereunder )  c ) 5  coups pour 3 cavaliers capturés en d5  ( ci-dessous) (5 moves for White and 5 moves for Black   — 3 knights  captured on d5  hereunder )  (merci Orion !-) d ) ...
Lire la suite

Le tripalin se présente

Image
Un tripalin est constitué de trois images. Chaque image illustre un substantif. Accolés, ces trois substantifs forment une chaîne palindromique. Laquelle nous vous invitons à trouver.  Exemple ci-dessous. Le premier mot est COL-BLEU Le second DUEL Le troisième BLOC . Ces mots forment la chaîne COLBLEUDUELBLOC qui est bien palindromique. Je posterai chaque jeudi une nouvelle salve de tripalins . Rien que des noms illustrés – pas d’adjectifs, pas de verbes conjugués, pas d’adverbes (parfois un prénom ou un nom propre – mais seulement quand il faut). À la demande générale (de mon neveu), chaque tripalin sera surmonté de son numéro d ’ ordre ( octothorpe noir) et de trois nombres bleus. Ces nombres reprennent les trois longueurs (en lettres) des trois mots présents dans le tripalin. On a par exemple ci-dessous [ #0 ↓ 7+4+4 ] car COL-BLEU comporte  7  lettres, DUEL   4  et BLOC   4 . Le numéro d ’ ordre est zéro. #0 ↓ 7+4+4 Voilà – tous retours critiques, con...
Lire la suite

Some strings au cinéma Galeries

  Lettre ouverte au cinéma Galeries   Bonsoir à tous,   Je viens de voir pour la seconde fois chez vous le beau film de Léos Carax (la première fois c’était le 26 juin en présence du réalisateur, au BRIFF). Apparut à l’écran aujourd’hui, avant la projection proprement dite, un avis que je n’avais pas remarqué en juin, expliquant un projet baptisé Some strings (« Quelques ficelles »), visible au sous-sol. Cet avis semblait faire l’éloge d’un poète palestinien mort à Gaza, lors d’un bombardement. Je n’ai pas bien compris de quoi il s’agissait, mais les mots utilisés m’ont interpellé. Après le Carax  je suis descendu voir l’exposition Some strings . J’en ai lu tous les cartels et avis placardés dans votre cinéma – et j’aimerais vous poser, si vous le voulez bien, quelques questions (je suis journaliste, vous m’avez d’ailleurs gentiment donné un « Exo » pour le Carax ).   Cette phrase, par exemple, omniprésente au cinéma Galeries, mériterait de...
Lire la suite