Den lille pige med svovlstikkerne

L’idée consiste (encore) à produire un jeu d’instructions qui puisse s’appliquer à lui-même.

On dessine d’abord, sur un patron classique, les dix chiffres « en allumettes jaunes » :

+---+---|-------+-------+---|---|---+-------+-----------+---+---+---+---+
|   |   |       |       |   |   |   |       |           |   |   |   |   |
|   |---|---+---+-------|---+---|---+---+---|---+-------|---|---|---+---|
|   |   |   |           |       |       |   |   |       |   |   |       |
+---+---|---+-----------+-------|-------+---+---+-------|---+---+-------+

Puis on s’attache à décrire le passage d’un chiffre X à un chiffre Y selon les allumettes qu’il faut ajouter, ôter ou déplacer dans X pour arriver à Y.

Ainsi doit-on ajouter une allumette à 3 pour former 9 ; ôter deux allumettes à 4 pour faire 1 ; déplacer deux allumettes dans 2 pour produire 5, etc. (Voir les exemples ci-dessous.)

La suite S est donc celle des instructions qu’il faut appliquer pour passer du premier « chiffre-allumettes » de la suite S au second « chiffre-allumettes » de la suite S, puis du second au troisième, puis du troisième au quatrième, etc.

On a pris a(1) = 73 car 7 signifie « ajouter » et 3 est le nombre d’allumettes qu’il faut précisément disposer (sur une feuille blanche) pour former le premier chiffre de S (c’est le 7 de 73, justement – selon le patron jaune retenu).

Pour passer ensuite de 7 à 3 (le chiffre suivant de S), il faut obéir à l’instruction 72 (« ajouter 2 allumettes au dessin du 7 pour former 3 »).

Et ainsi de suite (voir le début de S plus bas).

Précisons encore que 8 signifie « ôter » et 9 « déplacer ». Ainsi, pour produire 5 à partir de 3, faut-il suivre l’instruction 92 (« déplacer deux allumettes »). Et pour passer de 6 à 4 obéir à 8291 (« ôter 2 allumettes au chiffre précédent, puis déplacer 1 allumette »)

Terminons par notre éternel souci, lequel consiste à proposer une suite S qui soit lexicographiquement la première. Cela semble être le cas (croisons les doigts !-)

S = 73, 72, 82, 7291, 72, 82, 8291, 7291, 7191, 84, 71, 7291, ...

[Pour mémoire : ajouter = 7 ; ôter = 8 ; déplacer = 9] 

---|-------|---Pour passer de 1 à 2 il faut :
   |       |  
---|---+---|---Ajouter 3 allumettes (grises) et en déplacer 1 (rouge)
   |   |      
---|---+---|---Instruction (pour passer de 1 à 2) : 7391

 
---|-------|---Pour passer de 1 à 3 il faut :
   |       |  
---|-------|---Ajouter 3 allumettes (grises)
   |       |  
---|-------|---Instruction : 73

 
---|---|---|---Pour passer de 1 à 4 il faut :
   |   |   |  
---|---+---|---Ajouter 2 allumettes (grises)
   |       |  
---|-------|---Instruction : 72

 
---|---+---|---Pour passer de 1 à 5 il faut :
   |   |       
---|---+---|---Ajouter 3 allumettes (grises) et en déplacer 1 (rouge)
   |       |  
---|---+---|---Instruction : 7391

 
---|---|-------Pour passer de 1 à 6 il faut :
   |   |       
---|---|-------Ajouter 4 allumettes (grises)
   |   |   |     
---|---|-------Instruction : 74

 
---|-------|---Pour passer de 1 à 7 il faut :
   |       |       
---|-------|---Ajouter 1 allumette (grise)
   |       |    
---|-------|---Instruction : 71

 
---|---|-------Pour passer de 1 à 8 il faut :
   |   |   |  
---|---|-------Ajouter 5 allumettes (grises)
   |   |   |    
---|---|-------Instruction : 75

 
---|-------|---Pour passer de 1 à 9 il faut :
   |   |   |  
---|-------|---Ajouter 4 allumettes (grises)
   |       |  
---|-------|---Instruction : 74

 
-------+-------+---Pour passer de 2 à 3 il faut :
       |       |  
---+---+-------|---Déplacer 1 allumette (rouge)
   |           |  
---+-----------+---Instruction : 91

  
-------+---|---|---Pour passer de 2 à 4 il faut :
       |   |   |  
---+---+-------|---Ôter 1 allumette (horizontale) et en déplacer 2 (rouges)
   |           |  
---+-----------|---Instruction : 8192

 
-------+-----------Pour passer de 2 à 5 il faut :
       |   |       
---+---+-------|---Déplacer 2 allumettes (rouges)
   |           |  
---+-----------+---Instruction : 92

 
-------+---+-------Pour passer de 2 à 6 il faut :
       |   |      
---+---+-------+---Ajouter 1 allumette (grise) et en déplacer 1 (rouge)
   |       |   |  
---+-----------+---Instruction : 7191

 
-------+-------+---Pour passer de 2 à 7 il faut :
       |       |  
---+---+-------|---Ôter 2 allumettes (horizontales) et en déplacer 1 (rouge)
   |           |  
---+-----------|---Instruction : 8291

 
-------+---+---+---Pour passer de 2 à 8 il faut :
       |   |   |  
---+---+---|---|---Ajouter 2 allumettes (grises)
   |       |   |  
---+-------+---+---Instruction : 72

 
-------+---+---+---Pour passer de 2 à 9 il faut :
       |   |   |  
---+---+---+---|---Ajouter 1 allumette (grise) et en déplacer 1 (rouge)
   |           |  
---+-----------+---Instruction : 7191

 
-------+---|---|---Pour passer de 3 à 4 il faut :
       |   |   |  
-------+---+---|---Ôter 1 allumette (horizontale) et en déplacer 1 (rouge)
       |       |  
-------+-------|---Instruction : 8191

 
-------+---+-------Pour passer de 3 à 5 il faut :
       |   |      
-------+---+---+---Déplacer 1 allumette (rouge)
       |       |  
-------+-------+---Instruction : 91

 
-------+---+-------Pour passer de 3 à 6 il faut :
       |   |      
-------+---+---+---Ajouter 1 allumette (grise) et en déplacer 1 (rouge)
       |   |   |  
-------+---+---+---Instruction : 7191

 
-------+-------+---Pour passer de 3 à 7 il faut :
       |       |     
-------+-------|---Ôter 2 allumettes (horizontales)
       |       |  
-------+-------|---Instruction : 82

 
-------+---+---+---Pour passer de 3 à 8 il faut :
       |   |   |    
-------+---+---+---Ajouter 2 allumettes (grises)
       |   |   |  
-------+---+---+---Instruction : 72

 
-------+---+---+---Pour passer de 3 à 9 il faut :
       |   |   |    
-------+---+---+---Ajouter 1 allumette (grise) 
       |       |  
-------+---+---+---Instruction : 71

 
---|---|---+-------Pour passer de 4 à 5 il faut :
   |   |   |      
---+---|---+---+---Ajouter 1 allumette (grise) et en déplacer 1 (rouge)
       |       |  
-------|-------+---Instruction : 7191

 
---|---|---+-------Pour passer de 4 à 6 il faut :
   |   |   |      
---+---|---+---+---Ajouter 2 allumettes (grises) et en déplacer 1 (rouge)
       |   |   |  
-------|---+---+---Instruction : 7291

 
---|---|-------+---Pour passer de 4 à 7 il faut :
   |   |       |  
---+---|-------|---ôter 1 allumette (verticale) et en déplacer 1 (rouge)
       |       |  
-------|-------|---Instruction : 8191

 
---|---|---+---+---Pour passer de 4 à 8 il faut :
   |   |   |   |  
---+---|---|---|---Ajouter 3 allumettes (grises)
       |   |   |  
-------|---+---+---Instruction : 73

 
---|---|---+---+---Pour passer de 4 à 9 il faut :
   |   |   |   |  
---+---|---|---|---Ajouter 2 allumettes (grises)
       |       |  
 ------|---+---+---Instruction : 72

 
---+-------+-------Pour passer de 5 à 6 il faut :
   |       |      
---+---+---|---+---Ajouter 1 allumette (grise)
       |   |   |  
-------+---+---+---Instruction : 71

 
---+-----------+---Pour passer de 5 à 7 il faut :
   |           |  
---+---+-------|---Ôter 2 allumettes (horizontales) et en déplacer 1 (rouge)
       |       |  
-------+-------|---Instruction : 8291

 
---+-------+---+---Pour passer de 5 à 8 il faut :
   |       |   |  
---+---+---|---+---Ajouter 2 allumettes (grises)
       |   |   |  
-------+---+---+---Instruction : 72

 
---+-------+-------Pour passer de 5 à 9 il faut :
   |       |   |  
---+---+---|---+---Ajouter 1 allumette (grise)
       |       |  
-------+---+---+---Instruction : 71

 
---+-----------+---Pour passer de 6 à 7 il faut :
   |           |  
---|---+-------|---Ôter 3 allumettes et en déplacer 1 (rouge)
   |   |       |  
---+---+-------|---Instruction : 8391

 
---+-------+---+---Pour passer de 6 à 8 il faut :
   |       |   |  
---+---+---|---+---Ajouter 1 allumette (grise)
   |   |   |   |  
---+---+---+---+---Instruction : 71

 
---+-------+-------Pour passer de 6 à 9 il faut :
   |       |   |  
---+---+---|---+---Déplacer 1 allumette (rouge)
   |   |       |  
---+---+---+---+---Instruction : 91

 
-------+---+---+---Pour passer de 7 à 8 il faut :
       |   |   |  
-------|---|---|---Ajouter 4 allumettes (grises)
       |   |   |  
-------|---+---+---Instruction : 74

 
-------+---+---+---Pour passer de 7 à 9 il faut :
       |   |   |  
-------|---+---|---Ajouter 3 allumettes (grises)
       |       |  
-------|-------+---Instruction : 73

 
---+---+---+---+---Pour passer de 8 à 9 il faut :
   |   |   |   |  
---|---|---+---|---Ôter 1 allumette (verticale)
   |   |       |  
---+---+-------+---Instruction : 81

 

On constitue ainsi le tableau des instructions suivant (il est symétrique, on a permuté les 7 et les 8 sous la diagonale des « xx ». Et pour mémoire encore « ajouter = 7 ; ôter = 8 ; déplacer = 9 » :
     
     |vers|vers|vers|vers|vers|vers|vers|vers|vers
     |  1 |  2 |  3 |  4 |  5 |  6 |  7 |  8 |  9 
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 1| xx |7391| 73 | 72 |7391| 74 | 71 | 75 | 74 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 2|8391| xx | 91 |8192| 92 |7191|8291| 72 |7191|
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 3| 83 | 91 | xx |8191| 91 |7191| 82 | 72 | 71 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 4| 82 |7192|7191| xx |7191|7291|8191| 73 | 72 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 5|8391| 92 | 91 |8191| xx | 71 |8291| 72 | 71 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 6| 84 |8191|8191|8291| 81 | xx |8391| 71 | 91 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 7| 81 |7291| 72 |7191|7291|7391| xx | 74 | 73 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 8| 85 | 82 | 82 | 83 | 82 | 81 | 84 | xx | 81 |
 ----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 de 9| 84 |8191| 81 | 82 | 81 | 91 | 83 | 71 | xx |
     +----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 
Grace à ce « tableau/dictionnaire » il est facile désormais de calculer les premiers termes de S. [Pour que ce soit clair, le 17e terme de S - par exemple - est l’instruction qu’il faut suivre pour transformer le 16e chiffre de S en son 17e, sans tenir compte des virgules éventuelles.]

        S = 73,  72,  82, 7291,  72,  82, 8291,  7291,  7191,  84,  71, 7291...
Passage de .à7  7à3  3à7   7à2  2à8  8à2   2à7    7à2    2à9  9à1  1à7   7à2...
 
(Calcul en cours)(et question à une allumette : S entrera-t-elle tôt ou tard dans une boucle ? jamais ?)

(Les images viennent de Suisse)

Voici les premiers termes de S, calculés par Carole D.
[et oui, la suite entre bien dans une une boucle (de 311 termes) après a(n) = 1580]

S = 73, 72, 82, 7291, 72, 82, 8291, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 72, 82, 7191, 84, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 8291, 7291, 72, 82, 8291, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 75, 85, 71, 7191, 73, 83, 8191, 7291, 72, 82, 72, 85, 74, 84, 75, 85, 71, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 72, 82, 7191, 84, 71, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 72, 82, 7191, 84, 75, 85, 71, 7191, 73, 83, 8191, 7291, 72, 82, 72, 85, 74, 84, 75, 85, 71, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 75, 85, 71, 7191, 73, 83, 8191, 7291, 72, 82, 72, 85, 74, 84, 75, 85, 71, 7291, 72, 82, 8291, 81, 71, 81, 74, 84, 71, 72, 72, 82, 72, 85, 74, 84, 71, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 8291, 7291, 72, 82, 8291, 7191, 73, 83, 8191, 7291, 72, 82, 8291, 81, 75, 85, 71, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 75, 85, 71, 7191, 73, 83, 8191, 7291, 72, 82, 72, 85, 74, 84, 75, 85, 71, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 71, 7291, 7191, 84, 71, 7291, 72, 82, 8291, 7291, 72, 82, 8291, 81, 74, 84, 75, 83, 8191, 81, 71, 7291, 7191, 84,... 


           

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