Une spirale carrée

 

Une spirale carrée est dessinée progressivement sur un plan quadrillé infini. On commence sur une case quelconque puis on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. La contrainte est ici que jamais deux cases contiguës n’aient pour somme un nombre premier.

On voit ci-dessus que la case « 1 » de départ remplit bien cette condition :

1+3=4 (non premier)

1+7=8 (non premier)

1+8=9 (non premier)

1+11=12 (non premier)

De même pour « 2 » :

2+7=9 (non premier)

2+18=20 (non premier)

2+19=21 (non premier)

2+8=10 (non premier)

Etc.

J’ai demandé à mon ami Scott, aux antipodes, de calculer 1000 termes de cette suite S et de les soumettre à l’OEIS — car c’est un amoureux des spirales carrées (il en a des dizaines à son actif et elles sont souvent illustrées de parcours plus beaux les uns que les autres – voir ici ou ici, par exemple).

Nous voulons, comme d’habitude, que la suite S soit la lexico-première de ce type :

S= 1, 3, 5, 7, 2, 8, 4, 11, 9, 6, 12, 10, 14, 13, 15, 18, 16, 19, 27, 21, 23, 22, 24, 25, 20, 26,...

On pourrait faire suivre chaque terme k de S des 4 sommes non premières qui le concernent – sommes est, sud, ouest et nord, dans l’ordre.

Appelons K cette suite (les k successifs de S sont en jaune) :

K = 1, 4, 8, 9, 12, 3, 15, 8, 4, 12, 5, 15, 18, 12, 8, 7, 12, 22, 9, 8, 2, 9, 20, 21, 10, 8, 9, 10, 25, 12, ...


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