À la Cantor

Hello Jean-Marc,
Je suis en train d’écrire un article sur les ellipses pour Tangente où il est question de deux paramètres x et y distincts.
J’ai piqué à Cantor son idée de ramener x et y à un seul nombre z – lequel z permettra de retrouver x et y de manière non ambiguë.
L’idée consiste à semer des points rouges dans le premier quadrant d’un plan orthonormé (muni des axes habituels) selon la technique ci-dessous :
Je mets le 1er point rouge aux coordonnées (1,2)
Le 2e et le 3e point aux coordonnées (1,3) et (2,3)
Le 4e, le 5e et le 6e aux coordonnées (1,4), (2,4) et (3,4)
Le 7e, le 8e, le 9e et le 10e aux coordonnées (1,5), (2,5), (3,5) et (4,5)
Etc. Tu as compris – je démarre toujours une nouvelle rangée par la gauche.
(Cette méthode me permet de ne jamais avoir deux nombres identiques dans la même parenthèse – car ces nombres seront les paramètres d’une ellipse : je les veux distincts et plus grands que 0.)
Je numérote ensuite ces points comme ci-dessous – en commençant par le bas.
Voici le « triangle » que j’obtiens pour les 105 premiers nombres/numéros :
À l’aide de ce triangle il est simple de transformer tout nombre naturel en une paire de termes distincts.
Ainsi aux nombres 91, 98 et 100 ci-dessus correspondent respectivement les coordonnées (x,y) suivantes : 91 -->(13,14), 98 -->(7,15) et 100 -->(9,15).
Tu as noté évidemment que les nombres triangulaires successifs (A000217) terminent de bas en haut chaque ligne de points rouges.
Ma question est la suivante :
— Y a-t-il une formule qui donne rapidement (x,y) quand on connaît z ?
À quelle paire (x,y) correspond z = 2024 par exemple ? 
____________________
Voici mon calcul au doigt mouillé :
1) 2024 est coincé entre les nombres triangulaires 2016 et 2080
2) 2016 étant selon cette table le 63e nombre triangulaire, il a ici pour coordonnées (x,y) = (x, x+1) = (63, 64) 
3) 2017 commence (par la gauche) la rangée y de points rouges placée au-dessus de la rangée y de 2016 : la rangée y de 2017 est donc la 65e.
4) Donc 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023 et 2024 ont pour coordonnées (x,y) successives :
2017 -->(1,65), 
2018 -->(2,65), 
2019 -->(3,65), 
2020 -->(4,65), 
2021 -->(5,65), 
2022 -->(6,65), 
2023 -->(7,65),
2024 -->(8,65). 
5) On remarque que le 8 jaune ci-dessus est la différence (2024 - 2016).
6) On note aussi que le 65 jaune ci-dessus est le numéro de la rangée y qui contient les points rouges/nombres qui vont de 2016 à 2080 (dont fait partie 2024).
7) Le 65 jaune ci-dessus est donc ici [(index de 2016) + 2] = [63 + 2] = 65.
8) Tout ceci ne nous donne malheureusement pas une formule simple...
____________________
Update du lendemain
Jean-Marc trouva rapidement la solution :
1) il appelle T le nombre de départ (2024 comme premier exemple)
2) il calcule la coordonnée entière y grâce à la formule :
    « y est strictement inférieur à 1/2*[3+sqr(1+8*T)] », donc ici, avec T = 2024 :
    « y est strictement inférieur à 1/2*[3+sqr(1+8*2024)] » --> y = 65
3) la coordonnée x est donnée par la formule :
    « x = T - y2/2 + 3*y/2 - 1 », donc ici, avec T = 2024 et y = 65 :
    « x = 2024 - 652/2 + 3*65/2 - 1 » --> x = 8

Merci Jean-Marc !









 






























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