Maths avec grains
Hello
Nicolas,
Si tu es
sur une plage, ne mets ni ton grain de sel ici, ni tes grains de sable !
Cool, vacances !
Sinon,
regarde cette idée :
La suite
S est composée de termes N qui sont la concaténation de trois entiers : A,
B et C.
A est la position de N dans S ;
B est la quantité de chiffres pairs
présents dans N ;
C est la quantité de chiffres impairs
dans N.
Ainsi N
= 10323 affirme-t-il trois choses :
– que N
est le 103e terme de la suite S,
– que N
comporte 2 chiffres pairs (oui, le 0 et le 2),
– que N
comporte 3 chiffres impairs (oui, le 1, le 3 central et le 3 final).
Ma
question :
Ai-je
raison d’affirmer que la lecture de N, quelle que soit la quantité de chiffres
qu’il contienne, n’est jamais ambiguë ? Qu’il y a donc toujours moyen de
reconstituer A, B et C, pour tout N ?
Voici S (modulo erreurs dues à mon travail à la main) :
« Lexico-première
suite de termes N distincts formés par la concaténation des trois nombres A, B
et C avec A (en bleu ci-dessous) = position de N dans S ; B =
quantité de chiffres pairs dans N ; C = quantité de chiffres impairs
dans N ».
S = 112, 221, 312, 421, 512, 621, 712, 821, 912,
1013, 1122, 1213, 1322, 1413, 1522, 1613, 1722, 1813, 1922,
2040, 2113, 2240, 2313, 2440, 2513, 2640, 2713, 2840, 2913,
3013, 3122, 3213, 3322, 3413, 3522, 3613, 3722, 3813, 3922,
4040, 4113, 4240, 4313, 4440, 4513, 4640, 4713, 4840, 4913, etc. jusque 9813,
9922, puis
10032, 10123, 10232, 10323, 10432, 10523, 10632, 10723, 10832, 10923,
11023, 11114, 11223, 11314, 11423, 11514, 11623, 11714, 11823, 11914,
12032, 12123, 12232, 12323, 12432, 12523, 12632, 12723, 12832, 12923,
13023, 13114, 13223, 13314, 13423, 13514, 13623, 13714, 13823, 13914, etc. jusque 19823,
19914, puis
20041, 20132, 20241, 20332, 20441, 20532, 20641, 20732, 20841, 20932,
21032, 21123, 21232, 21323, 21432, 21523, 21632, 21723, 21832, 21923,
22041, 22132, 22241, 22332, 22441, 22532, 22641, 22732, 22841, 22932,
23032, 23123, 23232, 23323, 23432, 23523, 23632, 23723, 23832, 23923, etc. jusque 99823,
99914, puis
100033, 100142, usw.
Il est possible de s’autodécrire (triplement) ainsi, en utilisant des motifs réguliers comme ci-dessus, jusqu’à 999999918. Ensuite cette régularité se perd (voir ci-après lesdits motifs terminaux jusqu’à 999999918, avec P mis pour « chiffre pair » et i pour « chiffre impair ») .
Toutes les
terminaisons de N quand N comporte 6 chiffres (la quantité
de chiffres pairs est en jaune) :
iiii24
(exemple de tels nombres : 111124 et 999924)
iiiP15
iiPP42
iPPP33
(exemple : 100033 – c’est le 1er
des N à 6 chiffres de S, le 2e étant 100142, voir la fin de S ci-dessus)
PPPP60
Tous les motifs de fin
possibles d’un N qui comporte 7 chiffres :
iiiii16
iiiiP25
iiiPP34
iiPPP43
iPPPP52
PPPPP61
Si N comporte 8
chiffres :
iiiiii26
iiiiiP17
iiiiPP44
iiiPPP35
iiPPPP62
iPPPPP53
PPPPPP80
N comporte 9 chiffres :
iiiiiii18 (exemple 999999918 – le dernier des N à 9 chiffres de S, évoqué
ci-dessus à la fin de S)
iiiiiiP27
iiiiiPP36
iiiiPPP45
iiiPPPP54
iiPPPPP63
iPPPPPP72
PPPPPPP81
Pour plusieurs N à 10
chiffres, aucune solution n’est possible – et les motifs des nombres qui feront
partie de S deviennent irréguliers.
Le plus petit N à 10 chiffres qui entrera
dans S comporte 7 chiffres pairs et 3 impairs : 1000000073
Peut-on poursuivre S
avec des nombres à 11 chiffres et plus ? Il semble que oui – et que S soit donc prolongeable à l’infini.
Plus petit N à 11 chiffres : 10000000092
Plus grand N à 11 chiffres : 99999999829
Premier pandigital de S : 10023478965
Une notation sans
ambiguïtés ?
(la réponse de Nicolas G.)
> Pour moi, le seul cas qui peut être ambigu, c’est si le nombre se termine par TUV avec T + UV = TU + V = le nombre de chiffres de N (où T, U et V peuvent être des chiffres ou des suites de chiffres).
Par exemple, le nombre ..........112 peut se lire B=1, C=12 ou B=11, C=2.
> Mais les deux lectures ne peuvent pas être valides en même temps : puisque les chiffres sont les mêmes dans les deux cas, le nombre de chiffres pairs et impairs est le même, donc au plus une des lectures est valide.
> L’algorithme pour retrouver A, B et C à partir de N est assez trivial :
- compter le nombre de chiffres impairs de N. Si ce nombre a K chiffres et est identique aux L derniers chiffres de N, c’est C. Sinon, c’est que N n’appartient pas à la suite.
- compter le nombre de chiffres pairs de N. Si ce nombre a L chiffres et est identiques aux L chiffres qui précèdent les K derniers, c’est B. Sinon, c’est que N n’appartient pas à la suite.
- les chiffres sans les K+L derniers forment A.
> L’algorithme constitue en même temps une démonstration d’unicité.
> Ai-je répondu à ta question ?
_________________
... Oui, Nicolas, merci !
Je termine avec des grains de poivre vert qui n’ont rien à voir !
Amitiés estivales,
É.
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